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三大数学流派(一)

作者:百度百科发布日期:2019-09-25 18:40浏览次数: 来源:百度

简介

十九世纪下半叶,康托尔创立了着名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的勐烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的着名的罗素悖论。可以说,这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机

罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上着名的三大数学流派。

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一、逻辑主义

“数学即逻辑”

逻辑主义的主要代表人物是罗素,在《数学的原理》及《数学原理》中,罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题,它可以分析为三部分内容:

1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。简单来讲,即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。

2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译,则它就是逻辑真理。

3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题,就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。

二、形式主义

一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特。

希尔伯特建议两条最基本的原则:

一、形式主义原则:所有符号(如x,e,π…)完全看做没有意义的内容,即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管,而只是把它们看作纯粹的形式对象,研究它们的结构性质;

二、有限主义原则,即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。应用数学方法于这样一个形式理论,避免涉及无穷的推断,这就排除了康托尔集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方法,因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的,整个数学才有牢固的基础。

三、直觉主义

直觉主义的奠基者和代表人物是荷兰数学家布劳威尔。

在数学哲学中,直觉主义,或者新直觉主义(对应于前直觉主义),是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。

任何数学对象被视为思维构造的产物,所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同,因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者,这是不正确的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此,直觉主义是数学结构主义的一种;但它不是唯一的一类。

直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来;如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)?这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。例如,说A或B,对于一个直觉主义者,是宣称A或B可以证明。特别的有,排中律,A或非A,是不被允许的,因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否定。(参看直觉逻辑)

直觉主义也拒绝实际无穷的抽象;也就是说,它不考虑象所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造。

在介绍二十世纪中前期的数学三大流派之前,我想先提一下数学的“学派”,数学学派比数学流派要多的多。一个学派往往是很多知名的数学家在一个共同的地方,做出一系列的研究,并坚持一定的学派风格。在《基础教育百科全书·数学卷》(设计书)中,提到的数学学派有:伊奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、诡辩学派、智人学派、埃利亚学派、原子论学派、雅典学派、柏拉图学派、亚里士多德学派、亚历山大里亚学派、格丁根学派、柏林学派、彼得堡学派、意大利代数几何学派、法国函数论学派、直觉主义学派、逻辑主义学派、形式主义学派、普林斯顿学派、莫斯科学派、函数论学派、拓扑学派、剑桥分析学派、波兰学派、华沙学派、利沃夫学派、布尔巴基学派等。

可以看到,中世纪以前的数学学派和哲学学派几乎是重合的。通过学习《西方哲学史》可以了解到很多相关的东西。数学本身源于自然哲学。当数学科学逐渐从哲学中分离出来,但是数学基础仍然带有浓厚的哲学味。关于每个学派,都有一段很长的故事,其中的每个数学家都有很多激动人心的作品,和带有传奇色彩的故事。看M.克莱因的四卷本《古今数学思想》和E.T贝尔的《数学精英》,我们可以了解到很多数学家的故事。

直至近代,通过参阅《当代数学精英-菲尔茨奖获得者传》,和《当代数学大师:沃尔夫数学奖得主及其建树与见解》等书,可以对20世纪以来的数学有大概的了解。

莫斯科学派和哥廷根学派是我最喜欢的两个学派。两个地方都曾经云集过一大批着名的数学家,有长久的数学历史传统和深刻的数学文化。

关于哥廷根学派

哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派,该学派坚持数学的统一性,思想反映了数学的本质,促进了数学的发展。

高斯开始了哥廷根数学学派的起始时代,他把现代数学提到一个新的水平。黎曼、狄利克雷和雅可比继承了高斯的工作,在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献,克莱因和希尔伯特使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期,哥廷根大学因而也成为数学研究和教育的国际中心。

哥廷根学派是世界数学家的摇篮和圣地,但希特勒的上台,使它受到致命的打击。大批犹太血统的科学家被迫亡命美国,哥廷根数学学派解体[1]。

关于莫斯科学派:

百年来,苏俄涌现了上百位世界一流的数学家,其中如鲁金,亚历山德罗夫,柯尔莫戈罗夫,盖尔范德,沙法列维奇,阿洛尔德,诺维可夫,李雅普洛夫,菲赫金哥尔茨,科瓦列夫斯卡娅等都是响当当的数学大师。而这些优秀数学家则大多毕业于莫斯科大学。莫斯科大学所涌现的优秀数学家其数量之多,质量之高,恐怕除了19世纪末20世纪初的哥廷根大学。在20世纪就再也没有哪个大学敢与之相比了,即使是赫赫有名的普林斯顿大学也没有出过这么多的优秀数学家,莫斯科大学是当之无愧的世界第一数学强校。

莫斯科学派我最欣赏里面的阿诺尔德。他写的书都深入浅出,把高深的数学理论用简单的数学语言写出来,并举出很多生活中的实例,与数学理论相联系。他是个对数学理解非常深刻的数学家。看他的作品非常的享受,如《常微分方程》、《动力系统》、《经典力学的数学方法》。

很遗憾的是中国还未尝有过什么如此着名的数学学派,更不谈流派了。中国的数学发展,还需要更多的年轻人的投入和奋斗。

在下面要谈到的三大流派中,涉及了很多当时世界上一流的数学家,逻辑学家,哲学家。他们为数学基础的完善做出了巨大的贡献,在这里我们向他们致以崇高的敬意。

[1]『注』这里只需列出一张从德国(包括奥地利、匈牙利)到美国避难的数学家和物理学家的部分名单,就可见人材转移之一斑了。爱因斯坦(1879~1955,伟大的物理学家);弗兰克(J.Franck,1882~1964.1925年获诺贝尔物理学奖);冯·诺依曼(1903~1957,杰出数学家之一);柯朗(1888~1972,哥廷根数学研究所负责人);哥德尔(1906~1976,数理逻辑学家);诺特(1882~1935,抽象代数奠基人之一);费勒(W.Feller,1906~1970,随机过程论的创始人之一);阿廷(1896~1962,抽象代数奠基人之一);费里德里希(K.Friedrichs,1901~1983,应用数学家);外尔(1885~1955,杰出的数学家之一);德恩(1878~1952,希尔伯特第3问题解决者);此外还有波利亚、舍荀(Szeg)、海林格(Hellinger)、爱华德(Ewald)、诺尔德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格纳(Wigner)等等。


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[责编:雨滴]

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