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微积分的方法早已被证明行之有效，但是微积分的原理却一直模煳不清。本文介绍了一种新的数量观念，以此来解释微分和积分的原理。

我们回归到正题上来，微积分的方法业已证明行之有效，其根本问题在于回答什么是微分，为什么存在“小到忽略不计”的量等。

反思现在我们头脑中数量的概念，每一个数都是一个确定的值，在具体上表达同一类事物的多寡，这首先需要规定单位1。比如3个人，指包含3个单位1（把每个人看作一个单位）；再比如一层楼的高度是3米，表示它恰好包含3个单位长（把1米看作一个单位）。随着计量范围的扩大，从自然数到整数、有理数，再到无理数、实数。在通常的计算中，这些数已经足够。

数与量

但在微积分中，我们接触到了一个新的数——无限小，既是0又不是0的增量dt或ds，即微分。它产生于运动变化过程，与我们传统的数量观念不同，它不再是一个确定的值，而具有亦此亦彼的特点——既是0又不是0。其实，它恰恰是“同一类事物”中“类”的界线，是数量在微观上的单位1，好比一粒种子，不是植株，却能成长为植株。所有的运动变化都是从内蕴的种子开始，逐渐成长壮大成为宏观的运动变化现象。微分正是描述了运动变化的微观过程，它是运动变化的种子；与之相对应的是无穷大的概念，是量变引起的质变，它也不再是无始无终的过程，而表征的是量的积累界线，是质变的临界点。

临界现象

最后，我们来演示微积分方法为什么有效。

例5：微分与导数。

微分与导数

例6：积分与面积。

同样的，设函数为v=v(t)，求其与坐标轴所围面积。

积分与面积

微积分的方法对于自然科学乃至社会科学的发展至关重要，正确揭示其原理，既是微积分内在的需要，也是人类认识上的重大进步。（完）

微积分的意义

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