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(二)学不好微积分不是你的错,是它本身有错

作者:数学经纬网发布日期:2020-01-08 22:52浏览次数: 来源:原创

我们现在所学的微积分来源于柯西,最终表述形式由布尔巴基学派奠定。然而对于现行的微积分体系,它并没有真的解决第二次数学危机,并没有彻底解决微分是什么,到底是不是0的问题。

我们现在所学的高等数学是这样的一个体系,它由柯西在1821年初创,经过十数位数学家,历时近一个世纪,到1902年勒贝格建立测度理论而宣告完善,最后,教科书中的表述形式则由20世纪30年代的布尔巴基学派奠定。撇开一些庞杂的理论丛林,我们抽出这个体系中关于微积分原理的部分,下面通过例3和例4来说明。

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图一 布尔巴基

我们先介绍这个体系中最重要的一个概念——极限,它是一个确定的数a,如果有一个数的序列{xn},随着n的增大,xn越来越接近a,以至于当n足够大时,序列后面的数全都落在一个以a为中心的以ε为半径的区间之内,我们就说这个序列的极限是a。写成规范形式,即:

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图二 极限描述

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图三 极限定义

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图四 极限举例

可以看出,这里所说的极限是一个数,同时把我们头脑中的极限过程(越来越接近)用不等式的方法给予表达,而且,这种表达确实可以形象地称为“要多近有多近”。但是,只要ε不为零,序列中的数和极限便不一定相等。这便是数学中极限的思想,它给出的是证明的方法,并没有给出计算的方法,在实际运算过程中,我们需要凭直觉或其他方法猜出这个数,然后再证明之。

例3:现行体系的导数和微分

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图五 现行体系的导数与微分

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图六 导数与微分-1

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图七 导数与微分-2

导数的问题似乎解决了,那么微分是什么呢?书上说,微分ds是增量的线性部分,对于增量s,其线性部分即3t^2 t,于是ds=3t^2 t,然后认为微分dt就是t,于是ds=3t^2 dt。

这便是现行体系的微分和导数原理。在这里,导数是一个极限,微分ds是增量的线性部分,而dt就是增量t自身,它们并不要求非常小,而可以是任意的有限量,即微分不微。

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图八 数学之美

例4:现行体系的不定积分和定积分

对于函数s=s(t),我们求出其导数v(t)和微分ds=v(t)dt,并直接称s(t)为v(t)的一个原函数,由于s(t)+C(C为任意的一个常数)的导数都是v(t),于是它们都是v(t)的原函数,记作∫v(t)dt=s(t)+C

这便是现行体系中的不定积分。可以看到,它并没有具体的计算方法,只是给原函数起了一个新的名字——不定积分。多说一句,仅仅引入新的名字而没有也没有能力做深入的解释,在计算上依然沿用莱布尼茨和欧拉所开创的方法,这是现行微积分体系的一个症结。

我们求曲线v=v(t)与坐标轴所谓的面积,即所谓的定积分。现行体系的方法是,

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图九 现行体系的不定积分与定积分

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图十 定积分-1

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图十一 定积分-2

上述例3和例4反映了现行微积分体系的演绎思路,它相比于例1和例2所展示的演绎思路(莱布尼茨、欧拉等人的),显得复杂而崎岖,同时也难以让人一眼便指出荒谬之处。但这个体系并没有真的解决第二次数学危机,并没有彻底解决微分是什么,到底是不是0的问题。除了给出了极限思想的数学表达,它更多的是对原有体系中概念的重新解释和命名。我们对它的评价可以概括为,第一遮掩了微积分学科发展的根本矛盾,从而阻碍其发展;第二,由于避开直觉,核心概念形式化,导致整个微积分学科的支离破碎。

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图十二 数学家族

那么,究竟什么才是正确的微积分原理呢?在下一篇中,我们将演示微积分方法为什么有效。


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[责编:雨滴]

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