20世纪有许多数学着作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构,这反过来导致公理学的产生,即对于公设集合及其性质的研究。许多数学概念经受了重大的变革和推广,并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。一般(或抽象)集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论,迫切需要得到处理。逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具,被认真地检查,从而产生了数理逻辑。逻辑与哲学的多种关系,导致数学哲学的各种不同学派的出现。
图一 原子能
20世纪40~50年代,世界科学史上发生了三件惊天动地的大事,即原子能的利用、电子计算机的发明和航天技术的兴起。此外还出现了许多新的情况,促使数学发生急剧的变化。这些情况是:现代科学技术研究的对象,日益超出人类的感官范围以外,向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。以长度单位为例、小到1尘(毫微微米,即10^-15米),大到100万秒差距(325.8万光年)。这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验,越来越多地要依靠理论计算的指导。其次是科学实验的规模空前扩大,一个大型的实验,要耗费大量的人力和物力。为了减少浪费和避免盲目性,迫切需要精确的理论分机和设计。再次是现代科学技术日益趋向定量化,各个科学技术领域,都需要使用数学工具。数学几乎渗透到所有的科学部门中去,从而形成了许多边缘数学学科,例如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等。
上述情况使得数学发展呈现出一些比较明显的特点,可以简单地归纳为三个方面:计算机科学的形成,应用数学出现众多的新分支、纯粹数学有若干重大的突破。
1945年,第一台电子计算机诞生以后,由于电子计算机应用广泛、影响巨大,围绕它很自然要形成一门庞大的科学。粗略地说,计算机科学是对计算机体系、软件和某些特殊应用进行探索和理论研究的一门科学。计算数学可以归入计算机科学之中,但它也可以算是一门应用数学。
图二 电子计算机
计算机的设计与制造的大部分工作,通常是计算机工程或电子工程的事。软件是指解题的程序、程序语言、编制程序的方法等。研究软件需要使用数理逻辑、代数、数理语言学、组合理论、图论、计算方法等很多的数学工具。目前电子计算机的应用已达数千种,还有不断增加的趋势。但只有某些特殊应用才归入计算机数学之中,例如机器翻译、人工智能、机器证明、图形识别、图象处理等。
应用数学和纯粹数学(或基础理论)从来就没有严格的界限。大体上说,纯粹数学是数学的这一部分,它暂时不考虑对其它知识领域或生产实践上的直接应用,它间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用;而应用数学,可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。
20世纪40年代以后,涌现出了大量新的应用数学科目,内容的丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的。例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清,也有的因为用了很多概率统计的工具,又可以看作概率统计的新应用或新分支,还有的可以归入计算机科学之中等等。
图三 博弈论
20世纪40年代以后,基础理论也有了飞速的发展,出现许多突破性的工作,解决了一些带根本性质的问题。在这过程中引入了新的概念、新的方法,推动了整个数学前进。例如,希尔伯特1900年在国际教学家大会上提出的尚待解决的23个问题中,有些问题得到了解决。60年代以来,还出现了如非标准分析、模煳数学、突变理论等新兴的数学分支。此外,近几十年来经典数学也获得了进展,如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等。
当代数学的研究成果,有了几乎爆炸性的增长。刊载数学论文的杂志,在17世纪末以前,只有17种(最初的出于1665年);18世纪有210种;19世纪有950种。20世纪的统计数字更为增长。在本世纪初,每年发表的数学论文不过1000篇;到1960年,美国《数学评论》发表的论文摘要是7824篇,到1973年为20410篇,1979年已达52812篇,文献呈指数式增长之势。数学的三大特点—高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性,更加明显地表露出来。
图四 数学树
今天,差不多每个国家都有自己的数学学会,而且许多国家还有致力于各种水平的数学教育的团体。它们已经成为推动数学发展的有力因素之一。目前数学还有加速发展的趋势,这是过去任何一个时期所不能比拟的。现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面,但是它的主要特点可以概括如下:
(1)数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展,分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化,数学的不断分化,不断综合的趋势都在加强。
(2)电子计算机进入数学领域,产生巨大而深远的影响。
(3)数学渗透到几乎所有的科学领域,并且起着越来越大的作用,纯粹数学不断向纵深发展,数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础。
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