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从笛卡尔到庞加莱——兼谈法国数学家的人文思想

作者:数学中国发布日期:2019-11-27 18:03浏览次数: 来源:微信公众号

从笛卡尔到庞加莱,这是法国数学蓬勃发展的一条路,让我们一起来领略!

一、引子

在德国数学家高斯的一部传记中,作者引用了下面这段话:

有一个异乡人在巴黎问当地人,“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家?”

巴黎人回答,“我们最优秀的人学习数学。”

又去问法国数学家,“为什么贵国的数学一直享誉世界呢?”

数学家回答,“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”

二、笛卡尔以前的法国数学

在中世纪以前,数学的成就主要是在一些文明古国取得的,例如埃及、美索不达米亚,中国、印度和阿拉伯,当然还有希腊。可以肯定的是,如果没有希腊人的贡献,数学就不会像现在这样丰富多彩。而在长达一千多年的中世纪里,整个欧洲似乎只有一个堪称伟大的数学家——菲波那契,以他名字命名的兔子序列至今仍在数学王国里发出光辉。欧洲之外,最有名的数学家当数巴格达的花拉子密,正是他命名了代数学,在阿拉伯语里,al-jabr意为还原移项,译成拉丁文后就成了algebra,这也是今天英文里的代数学。

十四世纪是欧洲黑死病流行的时期,毁灭了将近四分之一的人口,数学上取得的成绩也非常可怜。但疾病和战争有时候会改变文明的格局,法兰西开始崭露头角,逐渐走在世界文明的前列。这个世纪最重要的数学家被认为是法国人奥雷斯姆(ORESME),他出生在诺曼底,是天主教会的主教,同时又是亚里士多德着作的法文翻译,中世纪最伟大的经济学家。他写过五部数学书,和他的译文一样文笔优美,为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数,第一个用坐标确定了点的位置,这预示了现代坐标几何学,影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。

从笛卡尔到庞加莱——兼谈法国数学家的人文思想

图一

十五世纪开始了欧洲的文艺复兴,随着拜占廷帝国的瓦解(君士坦丁堡最在1453年落入土耳其人之手),难民们带着希腊文化的财富流入意大利。奥登堡发明了活字印刷,印刷术得到了改进。在这个世纪的尾末,哥伦布到达了美洲,不久,麦哲伦完成了环球航行。可是数学进展仍然不大,十五世纪最杰出的数学家是法国人丘凯(CHUQUET),他出生在巴黎,在里昂生活和行医。丘凯率先考虑了负的整数指数,他的名着《算术三编》讨论了这样三个问题,有理数的计算、无理数的计算和方程论。他还提出了均值法则:如果A、B、C、D是正数,则(A+B)/(C+D)处于A/C与B/D之间。

十六世纪最伟大的数学家也是法国人。他的名字叫韦达(VIETE),出生在法国中部的普瓦捷(许多年以后笛卡尔也在这座城市上了大学)。韦达是个律师和议员,却像后来的费尔马一样,把绝大部分闲暇奉献给了数学。韦达的数学成就今天大多为我们所能理解,如中学数学里确立一元二次方程根和系数的关系的韦达定理(对三次方程他也有天才的贡献),三角学中的半角公式,他还是第一个提出代数系统符号化的人。韦达倡导用辅音字母表示已知数,元音字母表示未知数。后来被笛卡尔的想法所取代,后者用拉丁字母的开头几个(a,b,c)表示已知数,尾末几个(x,y,z)表示未知数。

从以上事实我们可以看出,法国人的数学在文艺复兴之初已达到世界先进水平,虽然那时候欧洲政治、经济、艺术和科学的中心是在亚平宁半岛。正是在那个时期,(现今的)初等数学基本上羽翼丰满了。同时,这也为近代数学和科学的全面发展奠定了相对坚实的基础。

三、笛卡尔和天才的世纪

在笛卡尔出生以前,意大利人在世界文明的进程中走在最前列,他们在数学和科学领域也处于领先地位,塔尔塔里亚(口吃者)与卡尔达诺在三次和四次方程的解法研究上取得了突破,他们两人的成就合起来不低于同时代的法国人韦达。可是,这两位同胞数学家却相互控告对方剽窃,结果弄得两败俱伤。1564年出生的伽利略一直在意大利的两所大学任数学教授,他发明的扇形圆规通用了两个世纪,同时对抛物线性质和无限集的等价概念有了正确的理解,他的数学天才和直觉帮助其建立起了自由落体的力学定律。他用自制望远镜观察宇宙,证实了哥白尼的太阳系理论,却不幸遭到罗马教会的迫害,含冤而死。

伽利略是在比萨斜塔做实验时发现自由落体定律的,他任比萨大学数学教授时年方25岁,两年后就离开了,后来到了威尼斯附近的帕多瓦大学。他第一次听说荷兰人发明望远镜是在1607年,他已经43岁,之后才自己动手制作望远镜,观察天象,他发表支持哥白尼理论的着作是在1630年,那年他66岁。也就是说,伽利略的两大科学发现相隔了差不多有四十年。正是在这期间,法国诞生了多位数学天才,德沙格、笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔,法国数学全面超越了意大利。英国哲学家兼数学家怀特海称十七世纪是天才的世纪,其中以法国人所做的贡献最多。德沙格建立了射影几何学,但他和他的几何学的光芒被晚三年出生的笛卡尔给掩盖了。下面我们就来谈谈笛卡尔。

和大多数天才人物一样,笛卡尔也出生在小地方。他小时母亲病故,身体赢弱,已另娶妻的父亲把他交给外婆抚养,后来又送他进拉弗莱什的一所教会学校。幸亏校长极有人文修养,看出这个孩子心智和身体上的差异,要他先增强体质。校长告诉小笛卡尔,除非想去教室和别的同学们在一起,否则不必离开自己的房间。从那以后,笛卡尔终身保持了晚起的习惯,包括他在部队当兵时,当他需要思考问题时,就躺在床上冥思苦想。笛卡尔后来回忆,那些在冥思中度过的漫长而安静的早晨,是他的哲学和数学思想的真正来源。据说,他是在床上看见天花板上苍蝇的运动才发明坐标系的。值得一提的是,尽管笛卡尔身体虚弱并爱睡懒觉,却是个勇敢的军人,并曾被授予中将军衔,但被他拒绝。

从笛卡尔到庞加莱——兼谈法国数学家的人文思想

图二

笛卡尔在数学上的主要成就是创立了一门数学分支——解析几何,同时他又被黑根尔赞誉为“近代哲学之父”。作为一个二元论者,笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来,其中心灵的作用如同其着名的哲学命题所表达的——“我思,故我在”。而在方法论上,笛卡尔则是一个彻头彻尾的怀疑主义者,对他来说,怀疑是一种必要的手段,是哲学和心理学方法中的一个工具。笛卡尔认为,我们从童年时代起就接受了许多偏见,如果得不到及时纠正,会持续到成年,进一步他指出,“怀疑是一门艺术,它使我们脱离感觉的影响获得解放。”

事实上,笛卡尔认为,亚里士多德的三段论只是在推导已知结论时才有用,而不能用以发现或创新。可是,鉴于当时教会和政院哲学的权威,为了避免伽利略所受的那种牢狱之苦,笛卡尔的《几何学》是作为他的哲学着作《方法论》的附录三悄然出现的,当然也不在正统的教科书之列。比笛卡尔晚两辈的英国人牛顿是从社会传闻而不是从课堂上了解到了笛卡尔的新哲学和新几何,开始相信物理世界是由运动着的物质粒子所组成的,并掌握了用代数方法解决几何问题的方法。那以后不久,身为剑桥大学三一学院研究生的牛顿便在自己的农庄里(因为鼠疫放假)构想了微积分学和万有引力定理。

在笛卡尔时代,他在数学上有好几位竞争对手。例如,毕生居住在法国南方山区小城图卢兹的法官费尔马,他有着“业余数学家之王”的美号。今天我们大家都知道“费尔马大定理”,它是毕达哥拉斯定理(即勾股定理)的推广和提升,虽然结论截然相反。直到上个世纪末,这个定理才被英国数学家怀尔斯最后证明了。据说在笛卡尔生前,他经常接到费尔马的挑战,例如宣布发现某某数学规律却不告之证明方法,这些挑战有的是以书面的形式提出,有的是通过一位叫梅森的神甫传达。说起这个梅森神甫,虽然算不上是伟大的数学家(仅以梅森素数命名),却是十七世纪法国数学不可或缺的人物。

梅森神甫经常乘自己外出布道的机会,到各地秘密会见数学家,并传达各种最新的数学成果或发现。另一方面,他又在巴黎举办每周一次的数学沙龙,参加这个沙龙的人当中就有一对叫帕斯卡尔的父子。那时候还没有科学院之类的组织,梅森神甫的沙龙后来成为法国科学院的雏形。就像如今各国媒体每每聚焦娱乐、体育和商业明星,那个时代的智力生活才是巴黎人瞩目的中心。老帕斯卡尔是个税务局的官员,业余研究数学并发现了帕斯卡尔螺线,他的妻子去世以后,为了年幼儿子的教育,他没有再婚,并把家从外省迁移到巴黎。

父亲的教学方法注重解决问题,而不是材料的灌输,从而提高了儿子动手实验能力。与此同时,考虑到儿子的体质,做父亲的侧重于语言教育,至于数学方面,他只讲授一些基本原理。这反而使得儿子对这门学科更为好奇和敏感,据说帕斯卡尔12岁那年,从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理,即三角形的三个内角和等于两个直角之和。从那以后,父亲才开始教授儿子欧几里德几何,不久父子俩一同参加了梅森神甫组织的数学沙龙。帕斯卡尔的主要数学成就包括概率论的创立(与费尔马合作)、二项式系数和射影几何学中的帕斯卡尔定理(圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线)。

除了数学上的成就以外,帕斯卡尔还发明了计算机(初衷是为了帮助父亲进行税务方面的计算)、流体压力定律(水压机便是这个定律的一个应用),计算机中的帕斯卡尔语言和天气预报中的大气压强单位帕均取自他的姓名。而在人文和哲学领域,帕斯卡尔取得了同样非凡的成就。他的散文作品《思想录》被公认为是所有法国文学中的珍品,在宗教方面,他宣扬可以通过心灵而不是通过理性来体验上帝的教义,他建立的直觉主义原理对于后来卢梭、实用主义和存在主义哲学家都有影响。

在达到盛名之后,帕斯卡尔和笛卡尔不约而同的选择了隐居生活。笛卡尔说过,“我只要求安宁和平静。”尽管他和帕斯卡尔之间也有争论,例如在真空是否真的存在这个问题上,但均是在理智和学术的范围内进行的。事实上,他们两人都不爱抛头露面。笛卡尔成年以后,大部分时光居住在荷兰,在这个多处地方低于海平面的国家,他不愿意把自己的住处告诉别人,包括一些亲近的朋友,为此还多次更换寓所。他的座右铭是:“隐居得越深,生活得越好。”而帕斯卡尔既没有进过学校,也没有谋求公职,后来干脆进了巴黎郊外的一座修道院。无论帕斯卡尔还是笛卡尔,他们的创造力一直持续到了暮年。

相比笛卡尔和帕斯卡尔的多才多艺,费尔马把自己的聪明才智全部奉献给了数论。这当然与费尔马有着自己的职业、需要养家煳口有关,但我认为更重要的是,费尔马与高斯、欧拉这三个对数论有杰出贡献的数学家,他们已经从数论之美中获得了满足,因此不怎么需要寻求诸如艺术、哲学或宗教的滋养。从毕达哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系,优美、简洁、智慧是这门科学的特点。记得希尔伯特的传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时写到,“数学中没有一个领域能够像数论那样,以它的美——一种不可抗拒的力量,吸引着数学家中的精华。”画家康定斯基也认为:“数是各类艺术最终的抽象表现。”

四、从费尔马到庞加莱

自从费尔马于1665年去世后,法国数学界有半个世纪的沉寂,之后从1820年代开始,接连诞生了一批数学大师,几乎每隔七、八年就有一位,依次是克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、蒙日、卡诺、傅立叶、泊松、柯西、蓬斯莱、伽罗瓦,可以说法兰西源源不断地滋生出大数学家。他们中的每一个都成就非凡,如果放在其他国家里,都可能成为该国历史上最伟大的数学家。而法国人也是以此为傲,仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车站等就有百余处,巴黎二十个街区也是以阿拉伯数字命名,并以平面几何学中的双曲螺线为序排列。


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