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德国哲学家雅斯贝尔斯在1949年出版的《历史的起源与目标》一书中，第一次把公元前500年前后同时出现在中国、西方和印度等地区的人类文明革新现象称之为“轴心时代”。这段时期是人类文明的重大突破时期，各个文明都出现了许多的伟人——古希腊有柏拉图和亚里士多德，古印度有释迦牟尼，古中国有老子和孔子，等等。人类的文化基础同时或独立地在中国、印度和欧洲开始奠定，而且直到今天，人类仍然附着在这种基础之上。

图一 文明轴心

这些伟人对人类古史的概括总结，以及对未来的憧憬和期望，被着成文字，以书籍的形式代代流传，漫长的历史期间，无数人继往圣绝学，不断重新修订增删，逐渐形成我们现在看到的样子，但其思想的内核，却始终保留了下来。

古典名着之所以是名着，并不因为束之高阁被大学者们反复研究，而在于它们是最基本的启蒙读物，是最好的教科书。

数学名着并不很多，这里列举几本，分别代表了古希腊、古中国和古印度的先人们的典型思维方式，整个古代的数学成就也基本上囊括在这些名着之中了。

第一本，便是古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。

据推测，欧几里得（英文：Euclid；约公元前330年—公元前275年）曾在柏拉图学院学习过，研究过亚里士多德的形式逻辑（《工具论》），有较好的几何学和逻辑性基础。

图二 几何原本

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。它把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。两千多年来，《几何原本》一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿、爱因斯坦等许多伟大的学者都曾在少年时学习过《几何原本》，惊叹于其无可置疑的逻辑和结论，后世的科学着作多模仿《原本》的结构。

图三 阿基米德

1582年，来自意大利的天主教神父利玛窦到中国传教，带来了15卷本的《原本》。1600年，明代数学家徐光启（1562-1633）与利玛窦相识后，便经常来往。1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚力译完的。

第二个，是阿基米德的着作，他是将数学的应用发挥到极致的人。

关于阿基米德的传说很多，阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家。阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其网平行弦线所围成图形的重心的方法。阿基米德证明物体在液体中所受浮力等于它所排开液体的重量，这一结果后被称为阿基米德原理。他还给出正抛物旋转体浮在液体中平衡稳定的判据。阿基米德发明的机械有引水用的水螺旋，能牵动满载大船的杠杆滑轮机械，能说明日食，月食现象的地球-月球-太阳运行模型。但他认为机械发明比纯数学低级，因而没写这方面的着作。阿基米德还采用不断分割法求椭球体、旋转抛物体等的体积，这种方法已具有积分计算的雏形。阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”

阿基米德流传于世的著作有10余种，如《论球和圆柱》。他的着作体例深受欧几里德《几何原本》的影响，先是假设，再再以严谨的逻辑推论得到证明；但在内容上始终将物理和数学融合。阿基米德对数学和物理的发展做出了巨大的贡献，为社会进步和人类发展做出了不可磨灭的影响，牛顿和爱因斯坦也都曾从他身上汲取过智慧和灵感，他是“理论天才与实验天才合于一人的理想化身”，文艺复兴时期的达芬奇和伽利略等人都拿他来做自己的楷模。

第三个，是阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，这是平直几何向弯曲几何的过渡。

阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名。他的着作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的数学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。直到17世纪的B.帕斯卡和R.笛卡儿才有新的突破。

图四 阿波罗尼奥斯

他推广了梅内克缪斯（公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。

在古希腊，欧几里得之前的数学着作已被光辉灿烂的《几何原本》淘汰殆尽，而《原本》开创的注重逻辑的公理化体系，则持续影响后世的数学着作，形成西方数学的特色。而在古中国，数学以另一种方式开创和发展。这里也推出三本古中国的shux 名着，它们的布局结构严重影响的中国人的思维模式。

第一本，《周髀算经》，一本神奇的关于地有多厚天有多高的着作，里面许多关于超大数字的运算。

图五 周髀算经

原名《周髀》，是中国最古老的天文学和数学着作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其应用。《周髀算经》采用最简便可行的方法确定天文历法，揭示日月星辰的运行规律，囊括四季更替，气候变化，包涵南北有极，昼夜相推的道理。给后来者生活作息提供有力的保障，自此以后历代数学家无不以《周髀算经》为参考，在此基础上不断创新和发展。

第二本，《九章算术》。

《九章算术》是中国古代第一部数学专着，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。后世中国的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最着名的有刘徽（263）、李淳风（656）等人

图六 九章算术

《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。

《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。《九章算术》没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明，与《几何原本》形成鲜明的对比。

第三，秦九韶的《数书九章》。

《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。

图七 数学九章

《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负数都有专条论述；卷1大衍类中在《孙子算经》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，被公认为“中国剩余定理”；卷17市物类给出完整的方程术演算实录；书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归。

秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的着述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。

古印度的数学，则在数学符号表示上独树一帜。

公元830年，巴格达的阿尔?花剌子模写了一本有关代数的书《代数学》，代数学(Algebra)一词即由此书而来。书中阐述了解一次和二次方程的基本方法及二次方根的计算公式，明确提出了代数、已知数、未知数、根、移项、集项、无理数等一系列概念，并载有例题800多道，提供了代数计算方法，把代数学发展成为一门与几何学相提并论的独立学科。十二世纪，花剌子密在印度数字方面的着作被翻译成拉丁文，印度数码(1～9、0)也藉他着作传入西方，欧洲人称为阿拉伯数字。

图八 巴格达

古代的交通不发达，每个地区基本可以认为是孤立的，数学的发展也是相互独立的。通过对比，可以看出，第一，数学的研究深受哲学的影响，不同的哲学思维下，便产生了完全不同的数学表述模式；第二，数学沿着不同的方向，都可以发展出抽象的理论，通过不断的总结和优化，必然形成纯粹数学和应用数学两大部门；第三，数学的交流，不只带来了数学知识的扩充，更是数学思维模式的碰撞，从而产生出更加优化的算法和理论；第四，数学的大发展，基础是在社会上的普及，突破是在持之以恒的专研。

在一千多年的发展中，古代数学主要解决了基本的数和形的表示问题，以及一些简单的算术、代数和几何计算问题，除了《几何原本》这个以逻辑为主线的另类，其他地区的数学著作均以具体问题的算法为主线，首先进行问题的罗列和解法的汇集，继而总结出现程序式的算法，直到解决了实际问题，在新的实际问题出现之前，数学便也暂时终结了。

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