上帝总在使世界算术化。
——雅可比
(一)中西古籍话算术
“算术”这个词,在我国古代是全部数学的统称。至于几何、代数等许多数学分支学科的名称都是后来很晚的时候才有的。举例来说,两千多年前,我国有一部十分重要的数学专门着作,全书共分九章;第一章方田,讲分数四则算法和平面形求面积法;第二章粟米,讲粮食交易中的简单比例问题;第三章衰分,讲比例分配问题;第四章少广,讲开平方和开立方问题;第五章商功,讲立体形体积问题;第六章均输,讲比较复杂的算术问题;第七章盈不足,讲盈亏类问题的解法;第八章方程,讲多元一次方程组解法和正负数;第九章勾股,讲勾股定理的运用和有关测量的问题。从内容可以看出,书里不但包含了类似于现在的算术内容,而且还包含了几何知识和初等代数知识,书的名称却叫做《九章算术》。
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《九章算术》是什么人编的?编于什么时代?目前都没有可靠的考证。人们根据书中所举的事例分析,认为许多事例都是汉代初年以前的,因此,有人认为这部书的编导年代应该在汉初以前。这部书可能不是一个人的独创,而是经过历代数学家删改增编而成的。据记载,汉初的张苍(?-前152)和耿寿昌(约前一世纪)都对《九章算术》作过删补增订的工作。这也说明,“算术”这个词,至迟在两千年前就作为全部数学的名称而通用了。
在国外,系统地整理前人数学知识的书,要算是希腊的欧几里得(约前330-前275)的《几何原本》最早。《几何原本》全书共十五卷,后两卷是后人增补的。全书中大部分是属于几何的知识,在第七、八、九卷中专门讨论数的性质和运算,属于算术的内容。现在拉丁文的“筹术”这个词是aritbmetica,它就是由希腊文的“数和数(音署,shu)数的技术”变化而来的。
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(二)树→自然数→分数
关于算术的产生,还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的,有各种不同类型的量,也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代文化发展的最初阶段,由于计算事物的个数的需要,就产生了最简单的自然数的概念,如1,2,3,4,5,……。
自然数的一个特点是由不可分割的个体组成的。比如我们说树和羊这两种事物,如果说有两棵树,就是一棵树又一棵树;如果说有三只羊,就是一只羊一只羊地数个数,共三只。但是不能说有半棵树或者半只羊,半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者羊肉,而不能算作树或者羊。同样地,把自然数“1”一分为二,或者再分成更多的部分,那就不再是自然数,而是分数了。分数是对另一种类型的量的分割而产生的,比如,长度就是一种可以无限地分割的量,要表示这些量,只有自然数是不够用的,这样就产生了分数。
自然数和分数都具有不同的性质,数和数之间也有不同的关系,计算这些数,就产生了加、减,乘,除的方法,这四种方法叫做四则运算。
把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验积累起来,并加以整理,就形成了最古老的一门数学,这就是算术。
(三)一树开两花
在算术的发履过程中,由于实践和理论上的要求,提出了许多新问题,在解决这些新问题的过程中,古算术从两个方面得到了进一步的发展。
一方面,在研究自然数四则运算中,发现只有除法比较复杂。有的能够除尽,有的除不尽,有的数可以分解,有的数不能分解,有些数有大于1的公约数,有些数没有大于1的公约数。为了寻求这些数的规律,从而发展成为专门研究数的性质、脱离了古算术而独立的一个数学分支,叫做整教论,或叫做初等数论,并在以后又有新的发展。在本书中的“数论”部分,我们将另加介绍。
另一方面,在古算术中也讨论各种类型的应用问题,以及对这些问题的各种解法。在长期的研究中,很自然地就会启发人们寻求解这些应用问题的一般方法。也就是说,能不能找到一般的更为普遍适用的方法来解同类型的应用问题,于是发明了抽象的数学符号,从而发展成为数学的另一个古老的分支,就是初等代数。
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