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微积分专题(三)——微积分方法这么好用!我们居然不知道原理!!

作者:数学经纬网发布日期:2019-11-03 20:47浏览次数: 来源:原创

微积分原理和微积分方法是截然不同的两个概念,微积分原理和微积分方法合称微积分。

即使是微积分原理也有两个:一个是以Newton和Leibniz共同思想为内容,以Leibniz表达方式为形式的微积分原理,这个微积分原理和微积分方法一道,为科学进步建立了无可比拟的历史功勋;另一个是1821年以后,以Cauchy为代表的数学家群体所建立的微积分原理,这个原理是以否定Newton和Leibniz的微积分原理为前提而构建的,但在解决问题时,仍然使用古典微积分原理,即使使用现代分析,也不过是用进一步抽象化的语言表述的古典微积分原理,其本质仍然是莱布尼兹但莱布尼兹自己也说不清的东西。人们由于误解,就以为现代分析解决了古典微积分原理中的全部问题。

微积分专题(三)——微积分方法这么好用!我们居然不知道原理!!

图一 牛顿-莱布尼兹-柯西

实践从未证明它正确过,实践证明的只是它所假借的微积分方法是行之有效的。相反,实践证明了这个微积分原理是错误的。遗憾的是,由于这样或那样的原因,人类并没有提取这些实践成果,相反,却把微积分方法的历史功绩错记到这个错误的微积分原理头上了。

数学在于给出有效的计算方法,并且要解释它为什么有效。比如已知一个直角三角形的两个直角边的长度,我们可以依据勾股定理(勾股定理的发现是长期经验积累的一次创新),计算出斜边的长度,同时,还需要以可理解的方式证明勾股定理,给出其适用的条件。这样,我们的认知才是圆满的,我们看到的世界才不是现象或概念的混合,而是有层次有秩序的运行着的。

微积分的发明也是这样,对于求运动速度,求曲线切线,求曲线长度、所围面积、立体体积,求极大值和极小值等问题,我们可以依据求微分,求导数,求积分的原则进行计算。但要论证它为什么是正确的,就不如勾股定理那样的容易了。

在微积分中,我们接触到了一个新的数——无限小,既是0又不是0的增量dt或ds,即微分。它产生于运动变化过程,与我们传统的数量观念不同,它不再是一个确定的值,而具有亦此亦彼的特点——既是0又不是0。其实,它恰恰是“同一类事物”中“类”的界线,是数量在微观上的单位1,好比一粒种子,不是植株,却能成长为植株。所有的运动变化都是从内蕴的种子开始,逐渐成长壮大成为宏观的运动变化现象。微分正是描述了运动变化的微观过程,它是运动变化的种子;与之相对应的是无穷大的概念,是量变引起的质变,它也不再是无始无终的过程,而表征的是量的积累界线,是质变的临界点。

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图二 种子与幼苗

人类弄清楚隐藏在事物背后的为什么,目的在于通过这些为什么对该类事物进行更深入更全面的开发和利用。比如,人类揭示熵增加原理解决了人类在热力学上的困惑,满足了人类在该问题上的心理需求,然而,这并不是人类主要目的,主要目的在于利用这一原理为人类服务,比如认识宇宙、开发制冷设备等等。再比如,人类揭示内燃机原理,不仅使人类全面而深入地懂得关于内燃机方方面面的为什么,更重要的是人类利用内燃机原理将内燃机的设计和制造提到空前的高度。


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[责编:大鱼]

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