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微积分专题(一)——微积分的发明与发展

作者:数学经纬网发布日期:2019-10-20 21:14浏览次数: 来源:原创

微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分。微积分为解决数学、自然科学和工程技术等相关问题提供了一套强大的工具,被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”。

牛顿和莱布尼茨先后独立发明了微积分。

艾萨克?牛顿(1642-1727) 在1666年便发明了微积分算法(1666年手稿《流数简论》1967年出版,1669年《分析》1771年出版,1671年《流数法》1736年出版,以及1693年《求积术》在1704年作为《光学》一书的附录正式发表,并在这里提出所谓“首末比法”),但他自知其计算过程过于疏漏,前后矛盾,因此迟迟没有发表。他将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法:正流数术(微分)和反流数术(积分)。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等,它们之间可以建立方程,比如2x2+y=0;“流数”就是流量的改变速度即变化率,写作x`等。流数瞬是流数的无限小增量,与流数(速度)成正比,写作x`o等。在已知流量间的方程后,比如2x2+y=0,需要计算流数大小时,只需将流量和流数瞬的和(x+ x`o,y+ y`o等)代入方程,略去o的高次方项, 便得到流数间的关系,即变化率。

微积分专题(一)——微积分的发明与发展

图一 牛顿

1684年,莱布尼兹(1646-1716)发表了数学史上第一篇正式的微积分文献 《一种求极限值和切线的新方法》。这篇文献是他自 1673 年以来的微积分研究的概括性成果,其中广泛地采用了微分符号dx、dy, 还给出了和、差、积、商及乘幂的微分法则。同时包括了微分法在求切线、极大、极小值及拐点方面的应用。两年后, 他又发表了一篇积分学论文《深奥的几何与不变量及其无限的分析》, 其中首次使用积分符号(sum的首字母拉长),初步论述了积分(或求积)与微分(求切线)问题的互逆关系,对他以往的研究作了初步整理, 叙述了微分学的基本原理, 认为函数的无限小增量是自变量无限小变化的结果,且把这个函数的增量叫做微分。莱布尼茨将微分看成是无限小之差(拉丁词differntia),而积分则是微分的累加(积分号便是sum的简写s的拉长),由此构成了微积分推演和应用的数学基础,形成了第一代微积分原理。

微积分专题(一)——微积分的发明与发展

图二 莱布尼兹

莱布尼茨的学说被其学生尤其是雅各?伯努利和约翰?伯努利兄弟推广发展,形成了现今初等微积分的大部分内容。其后,伯努利的学生欧拉(1707-1783)将莱布尼茨的微分发展为无限小的不同阶零的理论(1748年《无限小分析引论》):与有限量Δx相比,无限小量dx成为零,同时,一个无限小量dx2与dx相比也将成为零,因此,像通常的幂一样,我们称dx为一阶无穷小,dx2为二阶无穷小,dx3为三阶无穷小,显然,高阶无限小相对于一阶无限小而言将成为零。

1734年,贝克莱发表了着名的小册子《分析学家》,以形而上学的思维批评牛顿的流数和莱布尼茨的微分,认为无限小既不是有限量,又不是零,既可以做分母,又可以忽略不计,概念不清,不能理解。

可惜的是,面对一个神学家的评论,人们没有接受大数学家欧拉的思想,而是从其他角度探索微积分的基础。

欧拉的学生拉格朗日(1736-1813)在1797年出版的《解析函数论》中,从幂级数角度出发,他假定任一函数f(x+i)都可以表成幂级数形式,而其系数便在形式上定义了f(x)的各阶导数。

而达朗贝尔(1717~1783)发展了牛顿的“首末比方法”,用极限概念代替了牛顿含煳的“最初”和“最终”比,认为导数是差分比的极限。

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图三 达朗贝尔

这一观点被拉格朗日的学生柯西(1789-1857)所继承, 1821年,柯西出版了《分析教程》,1823年,又出版了《无限小计算教程概论》。这两部着作建立了极限理论,并以此为工具建立了全新的第二代微积分原理,由此发展出现行微积分原理的基本思想,即以极限定义导数和定积分,并将反导数取名不定积分,通过牛顿-莱布尼茨公式辅助定积分的运算。以这两部划时代的着作为标志,微积分演化史进入了第二个历史阶段。之后维尔斯特拉斯发明ε-δ语言定义极限,便是我们现在所看到的体系,称之为标准分析。

H.Lebesgue(1875-1941)用G.Cantor(1845-1918)的集合论尝试解决怪异函数的可积性问题,并建立了Lebesgue积分,其标志是其1902年撰写的博士论文《积分、长度和面积》。并且依此,相继建立了实变函数和现代分析,自此,数学界公认并宣布微积分理论完善。

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图四 勒贝格


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