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微积分专题(四)——微积分三百年总结

作者:数学经纬网发布日期:2019-11-10 18:43浏览次数: 来源:原创

微积分从出现直至发展到今天,已经有整整三百年的历史。它的出现,如同天外璀璨的流星,划破数学界的黑暗和寂静,给整个大地以震颤。

回望过去,总结微积分三百年的发展史,我们可以得出如下一些结论:

1、微积分方法在牛顿和莱布尼兹之前已经有之,所不同的是属于物理学的解题方法。牛顿和莱布尼兹把这些方法数学化、全面化了,当然,这些全面化的微积分方法是逻辑的不严谨的产物。

2、牛顿和莱布尼兹都试图建立微积分原理,以说明微积分方法为什么行之有效,并借以发现更多的微积分方法,然而,他们没有能够建立起能自圆其说的微积分原理。须顺便说明的是,莱布尼兹没有抄袭牛顿的研究工作 ,不仅如此,牛顿的微积分原理大多没有继承意义。牛顿说:“消失量的最终比实际上并非最终量之比,而是无限减小之量之比所趋向的极限。” 而莱布尼兹则不然,尽管他“dx表示两相邻的值的差”的说法还不严谨,但是,他有微分的概念和其它应有的概念和原理。今天的微积分方法能够如此丰富,实际上几乎都是沿着莱布尼兹指引的方向前进的结果。

图一 牛顿和莱布尼茨.jpg

图一 牛顿和莱布尼兹

3、柯西将微积分原理的建立引向歧途,牛顿的极限说是罪魁祸首,以柯西为代表的微积分原理及其相应数学对数学科学的发展起到了很坏的作用。

4、既然数学要求解决即时变化率问题,导数也定义为即时变化率,那么,没有即时量,即时变化率也就无从表达。不要说用难以自圆其说的极限理论影射出的即时变化率并不贴切,即使贴切也无法写作两个即时量的比。更糟糕的是,造成微商表达的不可能。以柯西为代表的微积分原理用它所谓的微分表达微商了,可是,逻辑上是错误的,并导致整个微积分原理的漏洞百出。

即时量的出现,不仅解决了导数表达为即时量的比的问题,也解决了微分方程和积分方程求解过程的解剖问题,以及微分几何的表达问题。

5、没有解剖形式就没有解决微分和积分的机理,从而,也就不可能说清楚微分与积分的互为逆过程。以柯西为代表的微积分原理通过定义告知人们微分或者导函数与不定积分是互为逆过程,并说这就是微积分的核心原理,这十分可笑!这哪里是什么原理,分明是微积分方法的同义反复。当知!微积分原理是解释微积分方法可以如此的,而不是重复微积分方法就是如此的。更可笑的是,导函数与微分虽然有联系,但是,是两回事,一个不定积分不可能同时是两个不同事物——导函数和微分的逆过程。

6、微积分方法,尤其是微分方程和积分方程的求解方法,已经是解剖形式了,因此,非解剖形式导数和积分的表达,不可能揭示微分方程和积分方程的求解原理。有些主流数学工作者认为完全可以取缔解剖形式的微分方程的解法,改用恰当方程求解微分方程。这种想法存在许多问题,至少,无法从必然意义上找回微分方程两端约掉的公因子。

7、数与形的一对一对应关系问题是当今数学的致命弱点。即使仅从测度论角度看,测度也无法有数学承担者。因此,微分几何也就无法完善。以柯西为代表的微积分原理,尤其是拜耳和勒贝格竟然得出了超越数是测度的数学承担者的谬论,这都是现行数学的数-形模型没有解决数与形的一对一对应关系的必然结果。

图二 测度论讲义.jpg

图二 测度论讲义

传统路径的微积分原理到底是什么呢?传统路径的微积分原理必须具备如下特征:

1、微分是现行数学的数-形模型表达不了的即时(或曰瞬时)量,函数的微分与自变量的微分之比构成导函数,即微商;

2、以解剖形式说明微分和积分的本质,从而,说明微分与积分确系互为逆运算关系;

3、以解剖形式说明微分方程求解过程和积分方程的求解过程;

4、解决数与形的一对一对应关系,能以解剖形式建立微分几何。

满足如上特征的就是现行数学所要求的微积分原理。顺便说一下,满足这些特征的微积分原理是可以建立起来的。


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