神奇的幻方

幻方的历史悠久。相传三干多年前的大禹治水时，有神龟出自洛水，龟背上刻有神奇的图案，称为“洛书”，洛书实际是一个三阶幻方，由于洛书是九个数字组成，故称为“九宫”。

我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”，有诗赞美九宫：

四海三山八洞仙，九龙王子一枝莲。

二七六郎赏月半，周围十五月团圆。

“九宫算”在汉代以后有很大发展，成为纵横都为n行共n²个数的图，又称“纵横图"。公元15世纪，住在君士坦丁堡的摩索普拉把我国的纵横图介绍到欧洲，并取名为“幻方”。由于幻方有着变幻莫测的性质，所以“幻方”一词便逐渐为世人所接受。16世纪德国著名画家有一幅名为“忧郁”的铜版画，画中有一个四阶幻方，我国也曾出土过一个元代的铁质四阶幻方。

虽然幻方的历史已很长了，但由于幻方中出现的一种变幻莫测的神奇的数字之美，使人流连忘返，甚至有人用毕生的精力去研究幻方，因而，随着时间的流逝，不断有人创造出新奇巧妙的幻方。

1. 神奇的幻方世界

1. 洛书

如图1由九个数字组成，又称“九宫”。

图1

2. 丢勒在《忧郁》中刻的四阶幻方

如图2，有趣的是，在幻方的最下一行中巧妙地嵌入了创作的年号1514，表明了创作年号。

图2

3. 印度太苏神庙历碑上的幻方

如图3，刻于11世纪，这个幻方上的每行、每列和每条对角线上四数和均为34，奇怪的是如果把幻方边上的行或列挪到另边去，新得的仍是幻方。

图3

4. 欧拉幻方

如图4每行或每列数之和为260，半行或半列之和为130。更妙的是一个国际象棋中的象可以按照它的步法依自然数顺序从1走到64。

图4

5. 双料幻方

如图5，在幻方中，最奥妙最为壮观的莫过于“双料幻方”了。这是一个八阶幻方。它的每行每列和每条对角线上的八个数不仅其和相等（都等于840）；而且这八个数的乘积也相等（都等于2058068231856000）。由于这种幻方的数字之和与数字之积都分别相等，故称为“双料幻方”，真可谓是天工造物，不知当初人们是怎样想出来的！

图5

6. 一个中国幻方

一个中国幻方已有近40年的历史，将其译成阿拉伯数字如图6。

图6

7. 地砖幻方

如图7是欧洲某博览会大厅的地砖的数字，这里任意一个5×5的正方形都构成一个五阶幻方。

图7

8. 同心幻方

同心幻方也叫嵌套幻方，其特点是从中心向外辐射。例如图8是一个七阶幻方。如果剥掉外层就成了一个五阶幻方；再剥掉外层，就成了一个三阶幻方。奇数阶同心幻方正好有一个“中心”。造法很多，其本质都是由最简幻方“洛书”领悟过来的。

图8

9. 间隔幻方

日本幻方研究家片桐制作了一个特别奇妙的“间隔幻方”，如图9，它不但完全符合八阶幻方的定义，更奥妙的是，如果把其中数字逐个间隔地取出来，重新配置，则可得到以下两个四阶幻方，如图10、图11。不但对角线上，而且在折断了的“泛对角线”上任意四数之和（例如47+3+18+62=22+45+43+20）全都等于130。

图9

图10

图11

10. 素数幻方

要用素数造出一个幻方已非容易，要用连续素数造出一个幻方就更难。世界数学科普大师马丁·加德纳就曾悬赏奖给第一个用连续素数造出一个三阶幻方的作者。为时不久，一个叫哈里·纳尔逊的利用加利福尼亚大学的一台克雷超级计算机，通过巧妙的程序设计，一举解决了这个难题，并提供了22个解答，其中一个如图12。因为幻方专家早已指出了三阶幻方通式，而这些素数正好可以完全纳入该通式的范畴中去。

图12

11. 六角幻方

1910年，美国有一个铁路公司职员阿当斯是一名幻方的业余爱好者，他渴望能造出一个阶数为三的六角幻方。历经47个春秋，经过无数次的挫折和失败，无情的岁月已将他从一个小伙子变成了一个双鬓斑白的老人，终于找到了六角幻方，如图13。数学游戏专家特里格得知后，企图在阿当斯的基础上，对层数作出突破，但经过反复研究，发现都是徒劳的，即两层以上的六角幻方不存在。如今，已用计算机证明六角幻方也只有阿当斯构造的这一个，难怪阿当斯为此花了47年的时光！

图13

12. 六角星形幻方

如图14，幻方的每一直线上四个数之和均为26，而六个角上的数字之和也是26，这一幻方虽然简单但不乏趣味，可使人赏心悦目。

图14

13. 反幻方

就是它的每一行，每一列或对角线上数字之和都不相等。这就是反幻方的问题。马丁·加德纳终于找到了这种幻方，如图15。有趣的是，反幻方中的九个数竟然形成按序首尾相连的“一条龙”。

图15

我们列举了以上13种幻方已经是让人眼花缭乱，惊异不已了。幻方像是数学里的“百慕大三角”，这绝非是什么数字游戏，而是竭尽智力的结晶。如果将幻方从平面推广到空间，就有所谓的“幻立方”，即将1至n³个自然数填入n³个小立方体，使立方体的每个剖面正方形上的每行、每列、每条对角线上各数的和都等于同一个常数，“幻立方”也有人在着手研究，但难度要比幻方问题大得多。

2. 幻方的一些性质

幻方的“幻”，就在于它具有令人迷惑的性质。现列举一些性质如下：

（1）每行、每列及对角线上数的和为同一个常数，这个常数称为“幻方常数”。幻方常数=n阶幻方中n²个自然数之和÷n，如n阶幻方是由自然数1，2，3，…，n²构成，则幻方常数=1/2*n（n²+1）。

（2）在同一行、同一列或同一对角线上与中心等距离的两个数之和，等于中心数的两倍。

（3）把一个幻方的每一个数都加上或都乘以同一个常数，所得的仍是一个幻方。

（4）把与中心等距离的两行及两列交换，所得结果仍是一个幻方。

此外，幻方还有许多有趣的性质，不一一列举了。还有幻方是如何构造的？同一阶数的幻方有多少种？等等。这些问题是一门新兴数学学科——组合数学研究的课题，等待有兴趣的读者去探索研究。