发布日期：2019-10-22 09:30 浏览次数：
中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
图一
1 罗尔中值定理
1.1 直觉
这是往返跑：
图二
可以认为他从A点出发，经过一段时间又回到了A 点，画成s-t （位移-时间）图就是：
图三
根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：
图四
拳击比赛中，步伐复杂：
图五
但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：
图六
这就是罗尔中值定理。
1.2 罗尔中值定理
设函数满足以下三个条件：
f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续
• f(x) 在开区间 (a,b) 上可导
• f(a)= f(b)
则存在ξ ϵ (a,b) ，使得f’(ξ)=0 。
f(x) 在闭区间 [a,b] 连续是必须的，否则有可能没有 f’(ξ)=0 ：
图七
在开区间 (a,b) 可导也是必须的：
图八
定理中的条件“f(x) 在闭区间 [a,b] 连续、在 开区间(a,b) 可导”是否可以更改为“f(x) 在闭区间 [a,b] 连续、在 闭区间[a,b] 可导”？
不行，这两者并非同一个条件，举一个反例：
图九
此函数在图像如下：
图十
此函数就是在 [1,0] 连续，(1,0) 可导，在端点 x=0,1 处导数不存在（类似于 xsin(1/x) 在0点处不可导，可自行证明）。
2 拉格朗日中值定理
来看下交通管理中的区间测速：
图十一
时间a 采集到汽车的位移为 f(a) ，时间b 采集到汽车的位移为 f(b)：
图十二
可以据此算出平均速度为：[f(b)-f(a)]/(b-a)
比如算出来平均速度为 70km/h ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：
• 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为 70km/h
• 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情况
下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：
图十三
如果限速 60km/h ，那么根据汽车的平均速度为 70km/h ，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。
图十四
约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。
2.1 拉格朗日中值定理
设函数满足以下两个条件：
• f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续
• f(x) 在开区间 (a,b) 上可导
则存在 ξ ϵ (a,b) ，使得：
f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：
图十五
把它旋转一下，使得 f(a)=f(b) ：
图十六
得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：
图十七
3 柯西中值定理设函数
f(x),g(x) 满足以下条件：
• f(x),g(x) 在闭区间 [a,b] 上连续
• f(x),g(x) 在开区间 (a,b) 上可导
• ∀xϵ (a,b) 有：g’(x)≠0
则存在ξϵ(a,b) ，使等式
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]= f’(ξ)/ g’(ξ)
成立。
可以把 f(x),g(x) 组合成参数方程：
x=f(t)
y=g(t)
这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：
图十八
如果：
x=x
y=f(x)
那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。
4 总结
三大微分中值定理的联系与区别：
图十九